Matematika 6 - 8.2 Konstrukcija paralelograma (2024)

Povratak na početnu stranicu
Izbornik s popisom nastavnih modula i jedinica za brzi pristup jedinicama sadržaja

Matematika 6

1. Skup cijelih brojeva 2. Kut i trokut 3. Potencije baze 10 4. Razlomci 5. Računanje s razlomcima 6. Koordinatni sustav i prikazivanje podataka 7. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom 8. Paralelogrami

1.1. Cijeli brojevi 1.2. Zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva 1.3. Množenje i dijeljenje cijelih brojeva Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja

2.1. Kut 2.2. Trokut 2.3. Svojstva trokuta 2.4. Sukladnost trokuta 2.5. Konstrukcije trokuta 2.6. Opseg i površina trokuta Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja

3.1. Pojam i zapis potencije baze 10 3.2. Računanje s potencijama baze 10 3.3. Primjena potencija baze 10 Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja

4.1. Razlomci i decimalni brojevi 4.2. Skraćivanje razlomaka 4.3. Proširivanje razlomaka 4.4. Različiti zapisi razlomaka 4.5. Uspoređivanje razlomaka Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja

5.1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 5.2. Množenje i dijeljenje razlomaka 5.3. Primjena računanja s razlomcima 5.4. Postotak i postotni iznos Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja

6.1. Razlomci na brojevnom pravcu 6.2. Uređeni par 6.3. Pravokutni koordinatni sustav u ravnini 6.4. Grafičko prikazivanje podataka Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja

7.1. Algebarski izrazi 7.2. Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom i njezino rješenje 7.3. Rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom 7.4. Primjena linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja

8.1. Vrste i svojstva paralelograma 8.2. Konstrukcija paralelograma 8.3. Opseg i površina paralelograma Aktivnosti za samostalno učenje Procjena znanja
Pojmovnik

Postavke

Matematika 6

Postavke

1. Skup cijelih brojeva

1.1. Cijeli brojevi 1.2. Zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva 1.3. Množenje i dijeljenje cijelih brojeva Aktivnosti za samostalno učenje

2. Kut i trokut

2.1. Kut 2.2. Trokut 2.3. Svojstva trokuta 2.4. Sukladnost trokuta 2.5. Konstrukcije trokuta 2.6. Opseg i površina trokuta Aktivnosti za samostalno učenje

3. Potencije baze 10

3.1. Pojam i zapis potencije baze 10 3.2. Računanje s potencijama baze 10 3.3. Primjena potencija baze 10 Aktivnosti za samostalno učenje

4. Razlomci

4.1. Razlomci i decimalni brojevi 4.2. Skraćivanje razlomaka 4.3. Proširivanje razlomaka 4.4. Različiti zapisi razlomaka 4.5. Uspoređivanje razlomaka Aktivnosti za samostalno učenje

5. Računanje s razlomcima

5.1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 5.2. Množenje i dijeljenje razlomaka 5.3. Primjena računanja s razlomcima 5.4. Postotak i postotni iznos Aktivnosti za samostalno učenje

6. Koordinatni sustav i prikazivanje podataka

6.1. Razlomci na brojevnom pravcu 6.2. Uređeni par 6.3. Pravokutni koordinatni sustav u ravnini 6.4. Grafičko prikazivanje podataka Aktivnosti za samostalno učenje

7. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

7.1. Algebarski izrazi 7.2. Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom i njezino rješenje 7.3. Rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom 7.4. Primjena linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom Aktivnosti za samostalno učenje

8. Paralelogrami

8.1. Vrste i svojstva paralelograma 8.2. Konstrukcija paralelograma 8.3. Opseg i površina paralelograma Aktivnosti za samostalno učenje

Pojmovnik

Meni za pristupačnost

Veličina slova

Disleksija

Noćni prikaz

Upute za učenike

Upute za nastavnike

Što ću naučiti?

Prethodna jedinica Sljedeća jedinica

konstruirati kvadrat, pravokutnik, paralelogram i romb na osnovi uočenih svojstava i odnosa stranica, kutova i dijagonala
opisati kružnicu kvadratu i pravokutniku

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
Konstrukcija paralelograma
Konstrukcija pravokutnika
Konstrukcija kvadrata
Konstrukcija romba
...i na kraju

Na početku...

U doba antičke Grčke najstarija grana matematike - geometrija, doživljava svoj procvat. Jedno od pitanja koje je zaokupljalo pažnju ondašnjih matematičara bilo je: može li se ravnalom i šestarom konstruirati kvadrat kojemu je površina dvostruko veća od površine zadanog kvadrata. U ovoj ćeš jedinici i ti naučiti kako s pomoću ravnala i šestara konstruirati paralelograme, pa pripremi potreban pribor. Ne zaboravi geometrijsku bilježnicu jer ćemo sve konstrukcije raditi u nju.

Zanimljivost

Starogrčki matematičari dugo su se bavili s tri problema: kvadratura kruga, duplikacija kocke i trisekcija kuta. Ako te zanima o čemu govore ti problemi, potraži informacije na internetu ili pitaj nastavnika Matematike.

Konstrukcija paralelograma

Otprije ti je poznato da svaka konstrukcija mora imati analizu, konstrukciju i raspravu. Za svaki zadatak, u bilježnicu nacrtaj prvo skicu, a zatim konstruiraj zadani paralelogram.

Primjer 1.

Konstruiraj paralelogram $A B C D$ kojemu su duljine susjednih stranica $a = 5 cm$ i $b = 3 cm,$ a kut pri vrhu $A$ ima veličinu $α = 60 ° .$

Skica

Pri crtanju skice primjenjujemo pravila označavanja vrhova, duljina stranica i veličina kutova zadanog paralelograma.

Nacrtaj u bilježnicu skicu paralelograma te na njoj istakni zadane elemente, a zatim provjeri točnost rješenja uz pomoć sljedeće vježbe.

Zanimljivost

S obzirom na to da znaš konstruirati trokut prema konstrukcijama SSS, SKS i KSK, neće ti biti teško konstruirati paralelograme.

Ako bude potrebno, prisjeti se spomenutih konstrukcija trokuta i konstrukcija kutova zadanih veličina.

Zadanim elementima paralelogama pridruži položaj na slici opisan brojem.

Za svaki zadani element paralelograma na crtu upiši odgovarajući broj sa slike.

Kut $α = 60 °$ -

$a = 5 cm$ -

$b = 3 cm$ -

Pomoć:

Nasuprotne stranice jednakih su duljina.

Počevši od vrha $A$ u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke sata, nalazi se stranica duljine $a .$

null

Konstruiraj zadani paralelogram, a zatim crtež usporedi s danim rješenjem.

1. Nacrtaj dužinu $\bar{A B}$ duljine $5 cm$ kao na skici.

2. Konstruiraj kut veličine $60 °$ s vrhom u točki $A .$

3. U šestar uzmi duljinu $3 cm,$ zabodi ga u točku $A$ i nacrtaj kružni luk koji siječe krak konstruiranog kuta. Dobiveno sjecište je, prema skici, točka $D .$

4. Iz točke $D$ nacrtaj kružni luk polumjera $5 cm .$

5. Iz točke $B$ nacrtaj kružni luk polumjera $3 cm .$

6. Presjek kružnih lukova je točka $C .$

7. Spoji paralelogram $A B C D .$

Rasprava:

Dijagonala

dijeli paralelogram $A B C D$ na dva

trokuta. Trokut $A B D$ konstruiran je prema

poučku i

je određen. Nasuprotne stranice paralelograma su

duljina te je jednoznačno određen vrh $C .$

sukladna

jednakih

jednoznačno

SKS

$\bar{B D}$

null

Prema otprije poznatim svojstvima paralelograma dovoljno je znati duljine dviju njegovih stranica i veličinu jednoga unutarnjeg kuta kako bi paralelogram bio jednoznačno određen. Postoji li još koji način?

Zadatak 1.

Konstruiraj paralelogram $A B C D$ ako su zadani elementi: $|A B| = 6 cm,$ $|A D| = 4 cm$ i $|B D| = 55 mm .$

Na skici označi zadane elemente.

$6 cm$

$4 cm$

$5.5 cm$

Pomoć:

Zadane elemente dovuci probližno na sredinu odgovarajuće stranice.

Postupak:

Počevši od vrha $A,$ prati smjer suprotan od smjera kretanja kazaljke sata.

Prema skici konstruiraj zadani paralelogram $A B C D .$ Po potrebi, pomoć potraži u rješenju zadatka.

Prateći sljedeće korake, u bilježnicu konstruiraj zadani paralelogram.

Prema nacrtanoj skici prvo konstruiraj trokut $A B D$ prema konstrukciji SSS.

Sada iz vrha $B$ nacrtaj kružni luk polumjera $4 cm,$ a iz vrha $D$ kružni luk polumjera $6 cm .$ Presjek nacrtanih kružnih lukova četvrti je vrh paralelograma.

Spoji vrhove paralelograma.

Rasprava:

Konstruirani paralelogram u bilježnici sukladan je paralelogramu u rješenju zadatka.

Pokušaj ponovno konstruirati zadani paralelogram. Pažljivo prati korake konstrukcije.

null

Za konstrukciju zadanog paralelograma upotrebljavamo

konstrukciju

trokuta. Taj trokut

konstruirati

jer je duljina njegove najveće stranice

zbroja duljina preostalih dviju stranica.

null

Zadatak 2.

Konstruiraj paralelogram prema zadanoj skici.

Prema konstrukciji KSK konstruiraj trokut $A B D .$ Ako je potrebno, prisjeti se konstrukcija kutova zadanih veličina. Zatim iz točke $D$ nacrtaj kružni luk polumjera $7 cm .$ Iz točke $B$ nacrtaj kružni luk polumjera $|A D| .$ Presjek kružnih lukova je četvrti vrh paralelograma $C .$

Rasprava:

Paralelogram je konstruiran s pomoću

konstrukcije

trokuta. Ta je konstrukcija moguća jer je zbroj

zadanih

kutova manji od

$° .$

Pomoć:

Da je zbroj veličina kutova koji pripadaju trokutu koji je zadan dvjema susjednim stranicama i dijagonalom paralelograma veći od $180 °,$ konstrukcija ne bi bila moguća.

null

Kut $∠ B D A$ ima veličinu

$°$ pa zaključujemo da je trokut $A B D$

Konstruirani je paralelogram zapravo

Pomoć:

Ako su trokutu dva kuta jednakih veličina, tada je trokut jednakokračan. A s obzirom na to da su krakovi trokuta $A B D$ ujedno i susjedne stranice paralelograma, zaključujemo da su te stranice sukladne.

Postupak:

Paralelogram kojemu su susjedne stranice jednakih duljina jest romb.

Konstrukcija pravokutnika

Pri konstrukciji pravokutnika primjenjujemo svojstva koja vrijede za taj geometrijski lik. Ponovimo ih.

Povlačenjem elemenata ponovi neka važna svojstva pravokutnika.

Susjedne su stranice	međusobno okomite.
Dijagonale se	pravi.
Dijagonale su	jednakih duljina i usporedne.
Nasuprotne su stranice	međusobno raspolavljaju.
Svi su kutovi	jednakih duljina.

null

Primjer 2.

Konstruiraj pravokutnik kojemu susjedne stranice imaju duljine $5 cm$ i $4 cm,$ a zatim pravokutniku konstruiraj opisanu kružnicu.

Skica:

Dovuci zadani element u pravilno nacrtanu skicu pravokutnika zadanog u zadatku.

TOČNO!

Pomoć:

Skica mora sadržavati naznačeni pravi kut i duljine stranica kako bismo pri konstrukciji pravilno upotrebljavali zadane elemente konstrukcije.

null

Usporedi konstruirani pravokutnik s rješenjem.

S obzirom na to da se radi o konstrukciji, i pravi je kut potrebno konstruirati ravnalom i šestarom.

U bilježnici nacrtaj dužinu $\bar{A B}$ duljine $5 cm .$ Konstruiraj pravi kut s vrhom u točki $A .$ Iz istog vrha nacrtaj kružni luk polumjera $4 cm$ koji presijeca nacrtani polupravac, odnosno krak pravoga kuta. Dobiveno je sjecište vrh $D$ pravokutnika.

Sada iz vrha $D$ nacrtaj kružni luk polumjera $5 cm.$ Iz vrha $B$ nacrtaj kružni luk polumjera $4 cm .$ Sjecište kružnih lukova je točka $C,$ četvrti vrh pravokutnika.

Spoji vrhove pravokutnika.

Odaberi točku koja je središte pravokutniku opisane kružnice.

sjecište simetrala stranica

Točno, iako postoji točka koju je jednostavnije odrediti.

sjecište simetrala kutova

sjecište dijagonala

Pomoć:

Pravokutniku opisana kružnica prolazi svim vrhovima pravokutnika.

null

Konstruiranom pravokutniku opiši kružnicu, a potom provjeri rješenje.

Zadatak 3.

Konstruiraj pravokutnik kojemu je duljina dijagonale $63 mm,$ a kut između dijagonala $60 ° .$

Ne zaboravi nacrtati skicu prije same konstrukcije.

Prouči skicu i prati opis konstrukcije.

Nacrtaj dužinu $\bar{D B}$ duljine $63 mm .$ Ako ti je lakše, nacrtaj dužinu malo ukoso, kao što je na skici.

Vrh kuta koji zatvaraju dijagonale je sjecište dijagonala, odnosno polovište bilo koje dijagonale. Zato konstruiraj polovište $P$ nacrtane dužine.

Sada konstruiraj kut veličine $60 °$ s vrhom u točki $P$ , a krak produži i preko točke $P$ da dobiješ pravac kojem pripada druga dijagonala.

Zabodi šestar u točku $P,$ rastegni ga do točke $B$ ili točke $D$ pa nacrtaj kružnicu, odnosno nacrtaj kružnicu sa središtem u $P$ polumjera $|P B|$ .

Sjecišta kružnice i pravca, točke $A$ i $C,$ vrhovi su pravokutnika.

Spoji vrhove pravokutnika.